El calculo diferencial es
la rama de las matemáticas que comprende el estudio y de
la aplicación del calculo.
el calculo diferencial se origino en
el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar
la velocidad de los cuerpos al caer al vacio ya que cambia de un
momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,
teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo.
En 1666, el científico inglesISAAC NEWTONfue el primero en desarrollar métodos matemáticos,
para resolver problemas de esta índole.
newtonabordo el desarrollo del calculo a partir de la geometria
analitica desarrollando un enfoque geometrico y analitico de las derivadas
matematicas aplicadas como curvas definidas a través de algunas
ecuaciones.
RENE DESCARTES
Filosofo, científico y matemático francés contribuyo
a la sistematizacion de la geometria analitica. ue el primer matematico en
intentar clasificar por primera vez las rectas y curvas en un plano comforme al
tipo de ecuaciones que las producen. asi mismo contribuyo a la
elavoracion de teoria de ecuaciones.
PIERRE FERMATmatematico frances, quien en su obra
habla de los metodos diseñados para determinar los maximos
y mínimos acercándose casi al descubrimiento del calculo
diferencial, dicha obra influenzio aLEIBNIZen su investigación.
Fermat dejo casi
todos sus teoremas sin demostrar ya que en esa época era
muy común entre los filósofos el planteamiento de problemas.
Los números reales en su totalidad son todos los que conocemos en le cual solo hay dos tipos de números reales que son:
los números reales
los números imaginarios
cualquier numero que se nos ocurra y que se pueda localizar en la recta numérica horizontal, se dice que es un numero real, se dice que se representa mediante la R mayúscula.
Los números reales se pueden clasificar como racionales y se representan con la letra Q y los números irracionales se representan con QC.
números racionales
Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (fraccionarios, o quebrados), Q={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }
por otro lado existen números que no se pueden localizar en la recta y estos son los números imaginarios y los representamos con I.
números irracionales
Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es
0.1234567891011121314151617181920........
todo numero racional se puede expresar en una fraccion propia y fraccion impropia.
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de unespacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable. En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Unsistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema de coordenadas. En mecánica newtoniana se emplean sistemas de referencia caracterizados por un punto denominado origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas.
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero). Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual definimos un centro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x: . Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real.
intervalo Un intervalo es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real R, es decir, una porción de recta entre dos valores dados.
Intervalo abierto
No incluye los extremos.
o bien
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:
intervalo cerrado
Sí incluye los extremos.
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:
DESIGUALDAD En matematicas una desigualdad es la relacion de falta de desigualdad entre dos cantidades o expreciones en la desigualdad, los terminos estan relacionados por un simbolo de "MAYOR QUE" (>) o "MENOR QUE"(<). tambien existen otros derivados de estos dos, si alguno de estos dos simbolos aparece acompañado por una linea horizontal por debajo, significa "MAYOR O IGUAL QUE" o "MENOR O IGUAL QUE, respectivamente.
función inyectiva
una funcion "f" es inyectiva, univalente o uno-uno si y solo si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un unico elemento del dominio, una funcion inyectiva es inyectiva si todos los elemntos del dominio tienen imagenes ditintas.
función sobreyectiva
sea "f" una funcion de A en B, f es una funcion sobreytectiva (tanbien llamada epiyectiva) si y solo si cada elemento de B es imagen de almenos un elemento de A, bajo el ismbolo f, o dicho en palabras mas sensillas, cuando cadaelemento de B es la imagen de como minimo un elento de A.
función biyectiva
sea f funcion de A en B, f es una funcion biyectiva si y solo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.
dominio El dominio de una función está ligado a la definición de
función. Una función es una relación que asigna a cada
elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y. Al conjunto X se le llama dominio de la
función y a sus elementos se les denomina también valores de entrada. La
variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema
coordenado se suele graficar en el eje horizontal. El conjunto Y recibe el nombre de Contra
dominio o Rango de la función y son los valores de salida. La variable
"y" es la variable dependiente (depende de "x") y se
grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Por eso se
pone y = f (x) Resulta sumamente práctico tener siempre en
cuenta la definición de función, los conceptos de valores de entrada y de
salida.
ElDOMINIOde
una función es el conjunto de todos los valores de entrada que al aplicar la
función llevan a un valor de salida. Esto automáticamente nos lleva a ciertas
meditaciones con respecto a las funciones que queremos estudiar: ¿Cuáles de ellas tienen restricciones de
dominio (hay uno o varios valores de entrada que no llevan a un valor de
salida)? ¿Hay intervalos completos de valores de
"x" donde no se tienen valores de salida? ¿Será característico el dominio de los
diferentes tipos de funciones? ¿Cómo calcular estos valores de entrada que
no dan valores de salida? Sabiendo cómo son los intervalosabiertos, cerrados, semiabiertos e
infinitos, podemos comenzar. Si el dominio se refiere a todos los valores
de entrada que llevan a un valor de salida en una función, entonces debemos
preguntarnos cómo descubrir los valores de entrada en los diferentes tipos de
funciones que no nos llevan a un valor de salida (interprétese esto, como si no
se puede calcular el valor de la función). Estos valores tienen que ser
excluidos del dominio de la función.
Seafuna función. Estamos interesados enel valor de la función f(x) cuando x seaproxima a un valorc, pero no es necesariamente igual ac. Esto es, ¿según x se aproxima más y más ac(peroxno es igual ac) se acerca f(x) más y más a un valor L? Si la respuesta es si, decimos que "f(x) tiende a L según x se aproxima ac", y se representa en forma simbólica de la forma:
La frase "x se aproxima ac" o "x tiende ac" significa que independientemente de lo próximo que esté x del valorc, existe siempre otro valor de x (distinto dec) en el dominio de f está aún más próximo ac.
Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es,si el límite deuna función existe, es único.
En general calcular el límite de unafunción"normal", cuandoxtiende a un número real, es fácil,
basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable
independiente por el valor real al que laxtiende. No
obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que
la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular ellímite. Esta situación, es habitual,
cuando el límite lo queremos calcular cuandox tiende a infinito.
caso cero sobre cero
La función no está determinada parax
= 1, la razón es que el denominador se hace0.
Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador
de la función, existe algún factor que se hace0,
este factor suele ser del tipo :x - valor para el que queremos
calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador
y del denominador, se obtiene otrafunción, que toma los mismos valores en
todos los puntos que no sean el punto en cuestión. En
este caso concreto, el punto es :x = 1. La
nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la
indeterminación, que son los que permiten calcular ellímite.
En el caso concreto que nos ocupa, sería:
Cuandoxcrece indefinidamente, esta función es
un cociente de dos cantidades que crecen indefinidamente. Se puede plantear la
duda, de que si al crecerxindefinidamente, también lo hará :
caso infinito sobre infinito
puesto que sería la diferencia de dos cantidades que crecen
indefinidamente, que es unaindeterminación.
Sacando factor común se transforma esta expresión en otra equivalente:
que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece
indefinidamente sigue creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad
constante y el producto de dos cantidades que crecen indefinidamente, también
crece indefinidamente. Lo mismo ocurre con el denominador.
Como,
al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el
valor de la fracción no cambia, sigue que:
Esta propiedad nos permite resolver este tipo deindeterminaciones.
Se divide numerador y denominador porx, elevado al
mayor de los expontentes con los que aparece en la función :
Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:
Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente,
pero como :
Y a una cantidad que crece indefinidamente, le quitamos una
cantidad constante y sigue creciendo indefinidamente y el producto de dos
cantidades que crece indefinidamente, crece indefinidamente, está claro que:
Veamos
ahora otraindeterminaciónde este tipo, pero algo más
complicada:
Como
en este caso no se puede sacar factor común, para eliminar laindeterminación,
multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado. El
conjugado de una expresión, que es la diferencia de dos cantidades que crecen
indefinidamente, es otra igual, excepto que en lugar de una diferencia, es una
suma de dos cantidades que crecen indefinidamente. En este caso, será:
Aparece este tipo deindeterminacióncuando aparecen dos funciones tales
que: